“Se volete solo col vedere, sendo in capo d’una piazza, misurare quanto sia alta quella torre quale sia a piè della piazza, fate in questo modo. […]

Togli uno specchio, o più presto qualche scodella piena d’acqua, e ponla in terra, e discostatevi da essa, sempre volgendo il volto alla torre e alla detta scodella, per insino che tu veda in quella superficie dell’acqua ripresentata la cima della torre, e troverrete che quante volte lo spazio che sia fra l’occhio tuo e’ piedi tuoi, entra nello spazio che sia fra’ piedi tuoi e lo specchio, tante volte entra la torre nello spazio che sia fra lo specchio e il piè della torre. Siavi questo essemplo. Chiamisi la cima della torre A e il suo piè B, lo specchio C, l’occhio D, e il sito vostro dove sono e’ vostri piedi si chiami E, come qui vedete la pittura [Fig. 3].

Dico che se AB sarà piedi cento, e BC sarà piedi mille, troverete pari ragione fra CE e DE, cioè che come cento entra in mille dieci volte, così DE entra in CE volte pur dieci.”

Il brano in apertura fa parte di un libretto intitolato Ludi rerum mathematicarum (Alberti, 1980). Ne fu autore Leon Battista Alberti (Genova, 1404 – Roma, 1472): pittore e architetto, letterato e poeta, erudito, matematico, filosofo, astrologo e musico; ossia una delle persone più colte e più note del Quattrocento italiano (autore, tra l’altro, del De pictura (1435), in cui sviluppò la prima formulazione esplicita di alcuni problemi di prospettiva).

I Ludi, scritti tra il 1450 e il 1452 e dedicati al principe Meliaduso d’Este, furono definiti dall’autore “cose iocundissime” con le quali “voi prenderete diletto sì in considerare sì ancora in praticarle e adoperarle.”

Le prime tre righe che abbiamo letto corrispondono al periodo iniziale del libretto e introducono una serie di sette problemi dedicati al misurare “solo col vedere”, cioè a misurare a vista distanze di cui uno degli estremi è inaccessibile. Tutto il trattato dell’Alberti, di fatto, è una collezione di problemi pratici che ci rimanda all’origine pratico-concreta della geometria, alla risoluzione di problemi connessi alla pratica della misura dalla quale si passa poi all’idealizzazione. Non intendo trattare la personalità di questo autore, né soffermarmi più di così sulle “materie molto sottili” da lui raccolte e divulgate; è mio obiettivo, invece, illustrare come una tecnica per misurare una qualunque altezza della quale sia inaccessibile a noi la cima sia un buon soggetto per mettere in relazione alcuni risultati e nozioni di geometria e di fisica.

Il procedimento che l’Alberti propone, come descritto nel seguito del brano, sfrutta la proprietà delle superfici piane riflettenti (nel nostro caso uno specchio o una bacinella piena d’acqua) per la quale nella formazione delle immagini l’angolo di riflessione e l’angolo di incidenza delle visuali risultano uguali. Tale proprietà era già nota agli antichi: per esempio, è il risultato fondamentale di un opuscolo che godette di notevole celebrità, la Catottrica, e che ebbe, sotto il nome (affatto incerto) di Euclide, diverse edizioni (Euclide 1959, prop. 1, pp. 99 – 100; cfr. anche Bevilacqua – Ianniello, 1982, p. 59). È utile richiamare che con il termine catottrica si intende quella parte dell’ottica geometrica che riguarda la riflessione della luce.

La proprietà fondamentale della riflessione la troviamo altresì menzionata, per esempio, nell’Ottica di Euclide (Euclide, 1996, p. 116) e nell’Ottica di Tolomeo (cfr. Bevilacqua – Ianniello, 1982, pp. 67 – 69); o, solo per citare qualche altra fonte, negli scritti di Proclo a commento dell’opera euclidea, nell’Opticae Thesaurus Alhazeni Arabi libri VII, traduzione a opera di Gherardo da Cremona dell’originale arabo di Ibn El Alhazen (Basilea, 1572), e nell’Opus Majus di Bacone. Per i nostri scopi, però, sarà utile fissare la nostra attenzione sull’opera di Euclide, che espone una teoria “emissiva” della visione secondo cui raggi rettilinei uscenti dall’occhio, che Euclide chiama “raggi visuali”, attraversano lo spazio fino a giungere agli oggetti.

Si tratta di un’ipotesi erronea che si contrappone all’ipotesi opposta di Aristotele secondo la quale una qualche azione si trasmette attraverso un mezzo in linea retta dall’oggetto all’occhio. Entrambe le ipotesi, comunque, portano alle stesse conseguenze geometriche: l’essenziale è considerare rettilinei i raggi visuali.

Il brano introduttivo, allora, può essere considerato un esempio di concreta applicazione del Teorema 19 dell’Ottica di Euclide1; teorema che ci permette di evidenziare le conoscenze di ottica geometrica che l’Alberti invece sottintende. Quello che qui voglio limitarmi a fare è presentarlo per mostrarne l’utilità, e l’enunciato e la “dimostrazione”, così come riportati in (Euclide, 1996, p. 116), sono i seguenti:

Teorema 19. Sapere quanto è grande un’altezza data quando non c’è sole.

                                              [Trad. di Francesca Incardona]

Il teorema, quindi, fornisce i dettagli teorici necessari per giustificare il metodo del misurare “solo col vedere” descritto dall’Alberti. La “dimostrazione” non è molto difficile, se ci si basa sul fatto che i raggi visuali “sono riflessi secondo angoli uguali” e si conosce la legge di proporzionalità tra i lati omologhi di due triangoli simili. Più sottile, invece, è la giustificazione dell’uguaglianza dell’angolo incidente e dell’angolo riflesso: non fu trattata solo come un’evidenza empirica; si era trovata una motivazione in un principio che ebbe notevoli ripercussioni sulla visione scientifica del mondo (Israel, 1997).

Mediante un semplice ragionamento geometrico, in un’opera sulla Catottrica, il matematico Erone Alessandrino (I sec. a. C. – I sec. d. C.) trasse quest’importante conclusione: l’uguaglianza degli angoli di incidenza e di riflessione di un raggio di luce è una conseguenza del principio di Aristotele secondo cui la natura sceglie sempre la via più facile (Metafisica, Libro V). La dimostrazione di Erone può essere riproposta a partire dalla figura che segue 4.

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1 In realtà, esiste il sospetto di una probabile inserzione spuria di questo teorema nell’Ottica, come viene osservato per esempio in (Euclide, 1996, pp. 116), ma non intendo, per le finalità che mi sono proposto, entrare nei dettagli di tale questione.

2 Euclide, Elementi, Libro I, proposizione 32: “In ogni triangolo se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni e opposti, e la somma dei tre angoli interni del triangolo è uguale a due retti.”

3 Euclide, Elementi, Libro VI, proposizione 4: “Nei triangoli equiangoli i lati che comprendono gli angoli uguali sono proporzionali, essendo omologhi quelli opposti agli angoli uguali.”

4 In (Bevilacqua – Ianniello, 1982, pp. 79 – 81) si può leggere una traduzione del brano originale di Erone, comprendente anche i ragionamenti che lo portarono a immaginare una propagazione rettilinea e una velocità della luce infinita.

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Bibliografia

AA. VV. , Histoire des problèmes histoire des mathématiques, Ellipses, Edition Marketing, Parigi, 1993.

Alberti L. B., Ludi matematici, Quaderni della Fenice, Ed. Guanda, Milano, 1980.

Bessière G., Il calcolo differenziale ed integrale reso facile ed attraente, Hoepli, 1987.